Download PDF by Otto Forster: Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche

By Otto Forster

ISBN-10: 3322919080

ISBN-13: 9783322919083

ISBN-10: 3528372311

ISBN-13: 9783528372316

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses f?r studierende der Mathematik und Physik dar. Das erste Kapitel ?ber Differentialrechnung im R^n behandelt nach einer Einf?hrung in die topologischen Grundbegriffe Kurven im R^n, partielle Ableitungen, totale Differenzierbarkeit, Taylorsche Formel, Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Ver?nderlichen, implizite Funktionen und parameterabh?ngige Integrale.
Das zweite Kapitel gibt eine kurze Einf?hrung in die Theorie der gew?hnlichen Differentialgleichungen. Nach dem Beweis des allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes und der Besprechung der Methode der Trennung der Variablen wird besonders auf die Theorie der lienaren Differentialgleichungen eingegangen.
Bei der Darstellung wurde angestrebt, allzu gro?e Abstraktionen zu vermeiden und die Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erl?utern, insbesondere solche, die f?r die Physik appropriate sind.

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Den Graphen von fj erhaIt man als Schnitt durch den Graphen von f, vgl. ) y Bild 14 Aus der Definition der partiellen Ableitung folgt Dj f( X) -- hI'~o f. (x· + h) - f. (x·) I I I I - f'e ) h - i Xi . Die partielle Ableitung bzgl. der i-ten Koordinatenrichtung ist also nichts anderes als die gewohnliche Ableitung bzgl. der i-ten Variablen bei Festhaltung der iibrigen n - 1 Veranderlichen. Deshalb gelten fUr die partiellen Ableitungen analoge Rechenregeln wie fill die gewohnlichen Ableitungen. 36 Kapitell.

Es gebe eine Konstante K E IR+, so daB II Df(x)II ::; K f1ir aile x E U . ig stetig ist. 4. Sei U C IR n offen und f: U -IR eine stetig differenzierbare Funktion. Sei x E U und f(x) =: c. h. p' (0), grad f (x) § =0 . 7. Taylor-Formel. iefert eine Approximation von f durch eine affin-lineare Funktion. Die Taylor-Formel gibt in Verallgemeinerung davon (falls f geniigend oft differenzierbar ist) eine Approximation von f bis zu beliebig hoher Ordnung. Mit Hilfe der Approximation bis zur zweiten Ordnung werden wir in diesem Paragraphen au1>erdem die lokalen Extrema von Funktionen mehrerer Veranderlichen untersuchen.

2 genauer betrachten. a) m = O. Da es nur ein n-tupel a E INn mit lal = 0 gibt. • 0). = f(x). r Po ist also eine Konstante. namlich der Funktionswert von f im Entwickiungs· punkt x. b) m = 1. • O. 1. • 0) . -------j·te Stelle Es gilt De:; = Dj und ej! = 1 sowie ~e:; = ~j. also n L Dj f(xHj = (grad f(x). ~) . ~) + 0(1I~11). was genau die Approximierbarkeit von f durch eine lineare Funktion in der Defini· tion der Differenzierbarkeit darstellt. 59 § 7. Taylor-FormeL Lokale Extrema c) m = 2. Es gibt zwei Arten von n-tupeln 0: E INn mit 10: 1= 2.

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Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche Differentialgleichungen by Otto Forster

by Steven

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